Регистр сдвига с линейной обратной связью пример. Регистр сдвига с линейной обратной связью
Регистр сдвига с обратной связью состоит из двух частей: регистра сдвига и функции обратной связи .
Рис 19. Регистр сдвига с обратной связью.
В общем случае регистр сдвига представляет собой последовательность некоторых элементов кольца или поля. Наиболее часто применяются битовые регистры сдвига. Длина такого регистра выражается числом битов. При каждом извлечении бита все биты регистра сдвигаются вправо на одну позицию. Новый старший бит рассчитывается как функция всех остальных битов регистра. Выходом обычно является младший значащий бит. Периодом регистра сдвига называют длину выходной последовательности до начала ее повторения.
Простейший тип регистров сдвига – регистр сдвига с линейной обратной связью (РСЛОС или ЛРС). Обратная связь – простая операция XOR над некоторыми битами регистра. Перечень этих битов определяется характеристическим многочленом и называется последовательностью отводов . Иногда такую схему называют конфигурацией Фибоначчи .
Рис.20. РСЛОС конфигурации Фибоначчи.
При программной реализации РСЛОС пользуются модифицированной схемой: для генерации нового значащего бита вместо использования битов последовательности отводов над каждым ее битом выполняется операция XOR с выходом генератора, заменяя старый бит последовательности отводов. Такую модификацию иногда называют конфигурацией Галуа .
Рис.21. РСЛОС конфигурации Галуа.
n -битовый РСЛОС может находиться в одном из 2 n – 1 внутренних состояний. Это значит, что теоретически такой регистр может генерировать псевдослучайную последовательность с периодом 2 n – 1 битов (заполнение нулями совершенно бесполезно). Прохождение всех 2 n – 1 внутренних состояний возможно только при определенных последовательностях отводов. Такие регистры называют РСЛОС с максимальным периодом. Для обеспечения максимального периода РСЛОС необходимо, чтобы его характеристический многочлен был примитивным по модулю 2. Степень многочлена является длиной регистра сдвига. Примитивный многочлен степени n – это такой неприводимый многочлен, который является делителем , но не является делителем x d + 1 для всех d , являющихся делителями 2 n – 1. (При обсуждении многочленов термин простое число заменяется термином неприводимый многочлен ). Характеристический многочлен приведенных на рисунках РСЛОС:
x 32 + x 7 + x 5 + x 3 + x 2 + x + 1
примитивен по модулю 2. Период такого регистра будет максимальным, циклически проходя все 2 32 – 1 значений до их повторения. Наиболее часто используются прореженные многочлены, т.е. у которых есть только некоторые коэффициенты. наиболее популярны трехчлены.
Важным параметром генератора на базе РСЛОС, является линейная сложность . Она определяется как длина n самого короткого РСЛОС, который может имитировать выход генератора. Линейная сложность важна, поскольку при помощи простого алгоритма Берленкемпа-Мэсси можно воссоздать такой РСЛОС, проверив всего 2n битов гаммы. С определением нужного РСЛОС поточный шифр фактически взламывается.
Помимо РСЛОС применяются и регистры сдвига с нелинейной обратной связью, обратной связью по переносу и пр.
Ряд генераторов разработан на основе теоретико-числового подхода (генераторы Блюма-Микали, RSA, BBS, сжимающие, аддитивные генераторы и пр.).
Математическое обеспечение синтеза поточных криптографических алгоритмов разработано более полно и подробно по сравнению с блочными криптоалгоритмами. Тем не менее для создания поточных шифров зачастую используют блочные криптоалгоритмы в режимах OFB или CFB.
В регистре сдвига с линейной обратной связью выделяют две части (модуля): собственно регистра сдвига и схемы (или подпрограммы) вычисляющих значение вдвигаемого бита. Регистр состоит из функциональных ячеек (или битов машинного слова или нескольких слов), в каждой из которой хранится текущее состояние одного бита . Количество ячеек , называют длиной регистра. Биты (ячейки) обычно нумеруются числами , каждая из которых способна хранить бит, причём в ячейку происходит вдвижение вычисленного бита, а из ячейки извлекается выдвигаемый очередной сгенерированный бит. Вычисление вдвигаемого бита обычно производится до сдвига регистра, и только после сдвига значение вычисленного бита помещается в ячейку .
Периодом регистра сдвига называют минимальную длину получаемой последовательности до начала её повторения. Так как регистр из битовых ячеек имеет только разных ненулевых состояний, то, принципиально, период регистра не может превышать это число. Если период регистра равен этому числу, то такой регистр называют регистром максимального периода.
Для РСЛОС функция обратной связи является линейной булевой функцией от состояний всех или некоторых битов регистра. Например, сумма по модулю два или её логическая инверсия является линейной булевой функцией (операция XOR, в формулах обозначают как ) и наиболее часто применяется в таких регистрах.
При этом те биты, которые являются переменными функции обратной связи, принято называть отводами .
Управление регистром в аппаратных реализациях производится подачей сдвигающего импульса (иначе называемого тактового или синхроимпульса ) на все ячейки, в программных - выполнением программного цикла, включающего вычисление функции обратной связи и сдвига битов в слове.
В течение каждого такта времени выполняются следующие операции:
Регистр сдвига с линейной обратной связью
Таким образом, в качестве функции обратной связи берётся логическая операция XOR (исключающее ИЛИ), то есть:
Свойства примитивных многочленов
Свойства
Свойства выдаваемой РСЛОС последовательности тесно связаны со свойствами ассоциированного многочлена . Его ненулевые коэффициенты называются отводами , как и соответствующие ячейки регистра, поставляющие значения аргументов функции обратной связи.
Линейная сложность
Линейная сложность бинарной последовательности - одна из самых важных характеристик работы РСЛОС. Введём следующие обозначения:
ОпределениеЛинейной сложностью бесконечной двоичной последовательности называется число , которое определяется следующим образом:
Линейной сложностью конечной двоичной последовательности называется число , которое равно длине самого короткого РСЛОС, который генерирует последовательность, имеющую в качестве первых членов .
Свойства линейной сложности
Пусть и - двоичные последовательности. Тогда:
Корреляционная независимость
Чтобы получить высокую линейную сложность криптографы пытаются нелинейно объединить результаты нескольких выходных последовательностей. При этом опасность состоит в том, что одна или несколько выходных последовательностей (часто даже выходы отдельных РСЛОС) могут быть связаны общим ключевым потоком и вскрыты с помощью линейной алгебры. Взлом на основе такой уязвимости называют корреляционным вскрытием . Томас Сигенталер показал, что можно точно определить корреляционную независимость, и что существует компромисс между корреляционной независимостью и линейной сложностью.
Основная идея такого взлома заключается в обнаружении некоторой корреляции между выводом генератора и выводом одной из его составных частей. Затем, наблюдая выходную последовательность, можно получить информацию об этом промежуточном выводе. Используя эту информацию и другие корреляции, можно собирать данные о других промежуточных выводах до тех пор пока генератор не будет взломан.
Против многих генераторов потока ключей на базе регистра сдвига с линейной обратной связью успешно использовались корреляционные вскрытия или из вариации, такие как быстрые корреляционные вскрытия, предполагающие компромисс между вычислительной сложностью и эффективностью.
Пример
Для РСЛОС с ассоциированным многочленом генерируемая последовательность имеет вид . Допустим, перед началом процесса в регистре записана последовательность , тогда период генерируемого потока битов будет равен 7 со следующей последовательностью:
| Номер шага | Состояние | Генерируемый бит |
| 0 | - | |
| 1 | 1 | |
| 2 | 1 | |
| 3 | 0 | |
| 4 | 1 | |
| 5 | 1 | |
| 6 | 1 | |
| 7 | 0 |
Поскольку внутреннее состояние на седьмом шаге вернулось к исходному, то, начиная со следующего шага, будет идти повтор. Иными словами, период последовательности оказался равен 7, что произошло ввиду примитивности многочлена .
Алгоритмы генерации примитивных многочленов
Готовые таблицы
Вычисление примитивности многочлена - достаточно сложная математическая задача. Поэтому существуют готовые таблицы, в которых приведены номера отводных последовательностей, обеспечивающих максимальный период генератора. Например, для 32-битового сдвигового регистра имеется последовательность . Это означает, что для генерации нового бита необходимо с помощью функции XOR просуммировать 31-й, 30-й, 29-й, 27-й, 25-й и 0-й биты. Код для такого РСЛОС на языке Си следующий:
Int LFSR (void ) { static unsigned long S = 1 ; S = ((( (S>> 31 ) ^ (S>> 30 ) ^ (S>> 29 ) ^ (S>> 27 ) ^ (S>> 25 ) ^ S ) & 1 ) << 31 ) | (S>> 1 ) ; return S & 1 ; }
Программные реализации РСЛОС генераторов достаточно медленны и быстрее работают, если они написаны на ассемблере, а не на языке Си. Одним из решений является использование параллельно 16-ти РСЛОС (или 32, в зависимости от длины слова в архитектуре конкретного компьютера). В такой схеме используется массив слов, размер которого равен длине РСЛОС, а каждый бит слова массива относится к своему РСЛОС. При условии, что используются одинаковые номера отводных последовательностей, то это может дать заметный выигрыш в производительности. [нужен пример кода ] (См.: bitslice).
Конфигурация Галуа
Конфигурация Галуа регистра сдвига с линейной обратной связью
Схему обратной связи также можно модифицировать. При этом генератор не будет обладать большей криптостойкостью, но его будет легче реализовывать программно. Вместо использования для генерации нового крайнего левого бита битов отводной последовательности выполняется XOR каждого бита отводной последовательности с выходом генератора и замена его результатом этого действия, затем результат генератора становится новым левым крайним битом. На языке Си это выглядит следующим образом:
Int LFSR (void ) { static unsigned long Q = 1 ; Q = (Q>> 1 ) ^ ( Q& 1 ? 0x80000057 : 0 ) ; return Q & 1 ; }
Выигрыш состоит том, что все XOR выполняются за одну операцию.
- можно доказать, что приведенная первой конфигурация Фибоначчи и приведенная здесь конфигурация Галуа дают одинаковые последовательности (длиной 2 32 −1), но смещённые по фазе одна от другой
- цикл из фиксированного числа вызовов функции LFSR в конфигурации Галуа выполняется примерно в два раза быстрее, чем в конфигурации Фибоначчи (компилятор MS VS 2010 на Intel Core i5)
- обратите внимание, что в конфигурации Галуа порядок бит в слове, определяющем обратную связь, обратный по сравнению с конфигурацией Фибоначчи
Примеры генераторов
Генераторы «стоп-пошёл»
Чередующийся генератор «стоп-пошёл»
Этот генератор использует вывод одного РСЛОС для управления тактовой частотой другого РСЛОС. Тактовый выход РСЛОС-2 управляется выходом РСЛОС-1, так что РСЛОС-2 может менять своё состояние в момент времени t, только если выход РСДОС-1 в момент времени t-1 был равен единице. Но эта схема не устояла перед корреляционным вскрытием.
Поэтому был предложен улучшенный генератор, основанный на этой же идее. Его называют чередующийся генератор «стоп-пошёл». В нём используются три РСЛОС различной длины. РСЛОС-2 тактируется, когда выход РСЛОС-1 равен единице, а РСЛОС-3, когда выход РСЛОС-1 равен нулю. Выходом генератора является сумма по модулю 2 РСЛОС-2 и РСЛОС-3. У данного генератора большой период и большая линейная сложность. Его авторы показали также способ корреляционного вскрытия РСЛОС-1, но это не сильно ослабляет генератор.
Каскад Голлманна
Каскад Голлманна
Каскад Голлманна представляет собой усиленную версию генератора «стоп-пошёл». Он состоит из последовательности РСЛОС, тактирование каждого из которых управляется предыдущим РСЛОС. Если выходом РСЛОС-1 в момент времени t является 1,то тактируется РСЛОС-2. Если выходом РСЛОС-2 в момент времени t является 1, то тактируется РСЛОС-3, и так далее. Выход последнего РСЛОС является выходом генератора. Если длина всех РСЛОС одинакова и равна n, то линейная сложность системы из k РСЛОС равна .
Эта идея проста и может быть использована для генерации последовательностей с огромными периодами, большими линейными сложностями и хорошими статистическими свойствами. Но, к сожалению, они чувствительны к вскрытию, называемому «запиранием» (lock-in). Для большей стойкости рекомендуется использовать k не менее 15. Причём лучше использовать больше коротких РСЛОС, чем меньше длинных РСЛОС.
Пороговый генератор
Пороговый генератор
Этот генератор пытается обойти проблемы безопасности, характерные для предыдущих генераторов с помощью переменного числа регистров сдвига. В теории при применении большего числа сдвиговых регистров сложность шифра возрастает, что и было сделано в данном генераторе.
Этот генератор состоит из большого числа регистров сдвига, выводы которых поступают на функцию мажорирования. Если число единиц на выходах регистров больше половины, то генератор выдает единицу. Если число нулей на выходах больше половины, то генератор выдает ноль. Для того чтобы сравнение число нулей и единиц было возможным, количество регистров сдвига должно быть нечётным. Длины всех регистров должны быть взаимно просты, а многочлены обратной связи - примитивны , чтобы период генерируемой последовательности был максимален.
Для случая трёх регистров сдвига генератор можно представить как:
Этот генератор похож на генератор Геффа за исключением того, что пороговый генератор обладает большей линейной сложностью. Его линейная сложность равна:
где , , - длины первого, второго и третьего регистров сдвига.
Его недостатком является то, что каждый выходной бит дает некоторую информацию о состоянии сдвигового регистра. А точнее 0.189 бита. Поэтому данный генератор может не устоять перед корреляционным вскрытием.
Другие виды
Самопрореживающие
Самопрореживающими называются генераторы, которые управляют собственной частотой. Было предложено два типа таких генераторов. Первый состоит из регистра сдвига с обратной линейной связью и некоторой схемы, которая тактирует этот регистр, в зависимости от того какими получаются выходные значения регистра сдвига. Если выход РСЛОС равен единице, то регистр тактируется d раз. Если выход равен нулю, то регистр тактируется k раз. Второй имеет практически ту же конструкцию, но несколько модифицированную: в схеме тактирования на вход, в качестве проверки на 0 или 1, поступает не сам выходной сигнал, а XOR определённых битов регистра сдвига с линейной обратной связью. К сожалению, этот вид генератора не безопасен.
Многоскоростной генератор с внутренним произведением
Этот генератор использует два регистра сдвига с линейной обратной связью с разными тактовыми частотами: РСЛОС-1 и РСЛОС-2. Тактовая частота РСЛОС-2 в d раз больше чем РСЛОС-1. Отдельные биты этих регистров объединяются операцией AND. Затем с выходами операции AND выполняется операция XOR. С этого блока XOR снимается выходная последовательность. Опять же и этот генератор не безупречен (Он не выстоял перед вскрытием линейной согласованности. Если - длина РСЛОС-1,- длина РСЛОС-2, а d - отношение тактовых частот, то внутреннее состояние генератора может быть получено по выходной последовательности длиной ), но он имеет высокую линейную сложность и обладает великолепными статистическими характеристиками.
В регистре сдвига с линейной обратной связью выделяют две части (модуля): собственно регистра сдвига и схемы (или подпрограммы) вычисляющих значение вдвигаемого бита. Регистр состоит из функциональных ячеек (или битов машинного слова или нескольких слов), в каждой из которой хранится текущее состояние одного бита . Количество ячеек , называют длиной регистра. Биты (ячейки) обычно нумеруются числами , каждая из которых способна хранить бит, причём в ячейку происходит вдвижение вычисленного бита, а из ячейки извлекается выдвигаемый очередной сгенерированный бит. Вычисление вдвигаемого бита обычно производится до сдвига регистра, и только после сдвига значение вычисленного бита помещается в ячейку .
Периодом регистра сдвига называют минимальную длину получаемой последовательности до начала её повторения. Так как регистр из битовых ячеек имеет только разных ненулевых состояний, то, принципиально, период регистра не может превышать это число. Если период регистра равен этому числу, то такой регистр называют регистром максимального периода.
Для РСЛОС функция обратной связи является линейной булевой функцией от состояний всех или некоторых битов регистра. Например, сумма по модулю два или её логическая инверсия является линейной булевой функцией (операция XOR, в формулах обозначают как ) и наиболее часто применяется в таких регистрах.
При этом те биты, которые являются переменными функции обратной связи, принято называть отводами .
Управление регистром в аппаратных реализациях производится подачей сдвигающего импульса (иначе называемого тактового или синхроимпульса ) на все ячейки, в программных - выполнением программного цикла, включающего вычисление функции обратной связи и сдвига битов в слове.
В течение каждого такта времени выполняются следующие операции:
Регистр сдвига с линейной обратной связью
Таким образом, в качестве функции обратной связи берётся логическая операция XOR (исключающее ИЛИ), то есть:
Свойства примитивных многочленов
Свойства
Свойства выдаваемой РСЛОС последовательности тесно связаны со свойствами ассоциированного многочлена . Его ненулевые коэффициенты называются отводами , как и соответствующие ячейки регистра, поставляющие значения аргументов функции обратной связи.
Линейная сложность
Линейная сложность бинарной последовательности - одна из самых важных характеристик работы РСЛОС. Введём следующие обозначения:
ОпределениеЛинейной сложностью бесконечной двоичной последовательности называется число , которое определяется следующим образом:
Линейной сложностью конечной двоичной последовательности называется число , которое равно длине самого короткого РСЛОС, который генерирует последовательность, имеющую в качестве первых членов .
Свойства линейной сложности
Пусть и - двоичные последовательности. Тогда:
Корреляционная независимость
Чтобы получить высокую линейную сложность криптографы пытаются нелинейно объединить результаты нескольких выходных последовательностей. При этом опасность состоит в том, что одна или несколько выходных последовательностей (часто даже выходы отдельных РСЛОС) могут быть связаны общим ключевым потоком и вскрыты с помощью линейной алгебры. Взлом на основе такой уязвимости называют корреляционным вскрытием . Томас Сигенталер показал, что можно точно определить корреляционную независимость, и что существует компромисс между корреляционной независимостью и линейной сложностью.
Основная идея такого взлома заключается в обнаружении некоторой корреляции между выводом генератора и выводом одной из его составных частей. Затем, наблюдая выходную последовательность, можно получить информацию об этом промежуточном выводе. Используя эту информацию и другие корреляции, можно собирать данные о других промежуточных выводах до тех пор пока генератор не будет взломан.
Против многих генераторов потока ключей на базе регистра сдвига с линейной обратной связью успешно использовались корреляционные вскрытия или из вариации, такие как быстрые корреляционные вскрытия, предполагающие компромисс между вычислительной сложностью и эффективностью.
Пример
Для РСЛОС с ассоциированным многочленом генерируемая последовательность имеет вид . Допустим, перед началом процесса в регистре записана последовательность , тогда период генерируемого потока битов будет равен 7 со следующей последовательностью:
| Номер шага | Состояние | Генерируемый бит |
| 0 | - | |
| 1 | 1 | |
| 2 | 1 | |
| 3 | 0 | |
| 4 | 1 | |
| 5 | 1 | |
| 6 | 1 | |
| 7 | 0 |
Поскольку внутреннее состояние на седьмом шаге вернулось к исходному, то, начиная со следующего шага, будет идти повтор. Иными словами, период последовательности оказался равен 7, что произошло ввиду примитивности многочлена .
Алгоритмы генерации примитивных многочленов
Готовые таблицы
Вычисление примитивности многочлена - достаточно сложная математическая задача. Поэтому существуют готовые таблицы, в которых приведены номера отводных последовательностей, обеспечивающих максимальный период генератора. Например, для 32-битового сдвигового регистра имеется последовательность . Это означает, что для генерации нового бита необходимо с помощью функции XOR просуммировать 31-й, 30-й, 29-й, 27-й, 25-й и 0-й биты. Код для такого РСЛОС на языке Си следующий:
Int LFSR (void ) { static unsigned long S = 1 ; S = ((( (S>> 31 ) ^ (S>> 30 ) ^ (S>> 29 ) ^ (S>> 27 ) ^ (S>> 25 ) ^ S ) & 1 ) << 31 ) | (S>> 1 ) ; return S & 1 ; }
Программные реализации РСЛОС генераторов достаточно медленны и быстрее работают, если они написаны на ассемблере, а не на языке Си. Одним из решений является использование параллельно 16-ти РСЛОС (или 32, в зависимости от длины слова в архитектуре конкретного компьютера). В такой схеме используется массив слов, размер которого равен длине РСЛОС, а каждый бит слова массива относится к своему РСЛОС. При условии, что используются одинаковые номера отводных последовательностей, то это может дать заметный выигрыш в производительности. [нужен пример кода ] (См.: bitslice).
Конфигурация Галуа
Конфигурация Галуа регистра сдвига с линейной обратной связью
Схему обратной связи также можно модифицировать. При этом генератор не будет обладать большей криптостойкостью, но его будет легче реализовывать программно. Вместо использования для генерации нового крайнего левого бита битов отводной последовательности выполняется XOR каждого бита отводной последовательности с выходом генератора и замена его результатом этого действия, затем результат генератора становится новым левым крайним битом. На языке Си это выглядит следующим образом:
Int LFSR (void ) { static unsigned long Q = 1 ; Q = (Q>> 1 ) ^ ( Q& 1 ? 0x80000057 : 0 ) ; return Q & 1 ; }
Выигрыш состоит том, что все XOR выполняются за одну операцию.
- можно доказать, что приведенная первой конфигурация Фибоначчи и приведенная здесь конфигурация Галуа дают одинаковые последовательности (длиной 2 32 −1), но смещённые по фазе одна от другой
- цикл из фиксированного числа вызовов функции LFSR в конфигурации Галуа выполняется примерно в два раза быстрее, чем в конфигурации Фибоначчи (компилятор MS VS 2010 на Intel Core i5)
- обратите внимание, что в конфигурации Галуа порядок бит в слове, определяющем обратную связь, обратный по сравнению с конфигурацией Фибоначчи
Примеры генераторов
Генераторы «стоп-пошёл»
Чередующийся генератор «стоп-пошёл»
Этот генератор использует вывод одного РСЛОС для управления тактовой частотой другого РСЛОС. Тактовый выход РСЛОС-2 управляется выходом РСЛОС-1, так что РСЛОС-2 может менять своё состояние в момент времени t, только если выход РСДОС-1 в момент времени t-1 был равен единице. Но эта схема не устояла перед корреляционным вскрытием.
Поэтому был предложен улучшенный генератор, основанный на этой же идее. Его называют чередующийся генератор «стоп-пошёл». В нём используются три РСЛОС различной длины. РСЛОС-2 тактируется, когда выход РСЛОС-1 равен единице, а РСЛОС-3, когда выход РСЛОС-1 равен нулю. Выходом генератора является сумма по модулю 2 РСЛОС-2 и РСЛОС-3. У данного генератора большой период и большая линейная сложность. Его авторы показали также способ корреляционного вскрытия РСЛОС-1, но это не сильно ослабляет генератор.
Каскад Голлманна
Каскад Голлманна
Каскад Голлманна представляет собой усиленную версию генератора «стоп-пошёл». Он состоит из последовательности РСЛОС, тактирование каждого из которых управляется предыдущим РСЛОС. Если выходом РСЛОС-1 в момент времени t является 1,то тактируется РСЛОС-2. Если выходом РСЛОС-2 в момент времени t является 1, то тактируется РСЛОС-3, и так далее. Выход последнего РСЛОС является выходом генератора. Если длина всех РСЛОС одинакова и равна n, то линейная сложность системы из k РСЛОС равна .
Эта идея проста и может быть использована для генерации последовательностей с огромными периодами, большими линейными сложностями и хорошими статистическими свойствами. Но, к сожалению, они чувствительны к вскрытию, называемому «запиранием» (lock-in). Для большей стойкости рекомендуется использовать k не менее 15. Причём лучше использовать больше коротких РСЛОС, чем меньше длинных РСЛОС.
Пороговый генератор
Пороговый генератор
Этот генератор пытается обойти проблемы безопасности, характерные для предыдущих генераторов с помощью переменного числа регистров сдвига. В теории при применении большего числа сдвиговых регистров сложность шифра возрастает, что и было сделано в данном генераторе.
Этот генератор состоит из большого числа регистров сдвига, выводы которых поступают на функцию мажорирования. Если число единиц на выходах регистров больше половины, то генератор выдает единицу. Если число нулей на выходах больше половины, то генератор выдает ноль. Для того чтобы сравнение число нулей и единиц было возможным, количество регистров сдвига должно быть нечётным. Длины всех регистров должны быть взаимно просты, а многочлены обратной связи - примитивны , чтобы период генерируемой последовательности был максимален.
Для случая трёх регистров сдвига генератор можно представить как:
Этот генератор похож на генератор Геффа за исключением того, что пороговый генератор обладает большей линейной сложностью. Его линейная сложность равна:
где , , - длины первого, второго и третьего регистров сдвига.
Его недостатком является то, что каждый выходной бит дает некоторую информацию о состоянии сдвигового регистра. А точнее 0.189 бита. Поэтому данный генератор может не устоять перед корреляционным вскрытием.
Другие виды
Самопрореживающие
Самопрореживающими называются генераторы, которые управляют собственной частотой. Было предложено два типа таких генераторов. Первый состоит из регистра сдвига с обратной линейной связью и некоторой схемы, которая тактирует этот регистр, в зависимости от того какими получаются выходные значения регистра сдвига. Если выход РСЛОС равен единице, то регистр тактируется d раз. Если выход равен нулю, то регистр тактируется k раз. Второй имеет практически ту же конструкцию, но несколько модифицированную: в схеме тактирования на вход, в качестве проверки на 0 или 1, поступает не сам выходной сигнал, а XOR определённых битов регистра сдвига с линейной обратной связью. К сожалению, этот вид генератора не безопасен.
Многоскоростной генератор с внутренним произведением
Этот генератор использует два регистра сдвига с линейной обратной связью с разными тактовыми частотами: РСЛОС-1 и РСЛОС-2. Тактовая частота РСЛОС-2 в d раз больше чем РСЛОС-1. Отдельные биты этих регистров объединяются операцией AND. Затем с выходами операции AND выполняется операция XOR. С этого блока XOR снимается выходная последовательность. Опять же и этот генератор не безупречен (Он не выстоял перед вскрытием линейной согласованности. Если - длина РСЛОС-1,- длина РСЛОС-2, а d - отношение тактовых частот, то внутреннее состояние генератора может быть получено по выходной последовательности длиной ), но он имеет высокую линейную сложность и обладает великолепными статистическими характеристиками.
Сдвиговый регистр с обратной связью ( FSR ) состоит из двух частей: сдвигового регистра и функции обратной связи .
Сдвиговый регистр (Error: Reference source not found) представляет собой последовательность битов. Когда нужно извлечь бит, все биты сдвигового регистра сдвигаются вправо на 1 позицию. Новый крайний левый бит является значением функции обратной связи от остальных битов регистра. Периодом сдвигового регистра называется длина получаемой последовательности до начала её повторения.
Простейшим
видом сдвигового регистра с обратной
связью является линейный сдвиговый
регистр с обратной связью (LFSR
–
Left
Feedback
Shift
Register
)
(Error: Reference source not found).
Обратная связь представляет собой
простоXORнекоторых битов
р
егистра,
перечень этих битов называетсяотводной
последовательностью
.
n -битовыйLFSRможет находиться в одном из2 n -1 внутренних состояний. Это означает, что теоретически такой регистр может генерировать псевдослучайную последовательность с периодом2 n -1 битов. Число внутренних состояний и период равны, потому что заполнение регистра нулями приведет к тому, что он будет выдавать бесконечную последовательность нулей, что абсолютно бесполезно. Только при определенных отводных последовательностяхLFSRциклически пройдет через все2 n -1 внутренних состояний. ТакиеLFSRназываютсяLFSR с максимальным периодом .
Для того чтобы конкретный LFSRимел максимальный период, многочлен, образованный из отводной последовательности и константы1 должен быть примитивным по модулю2 .
Вычисление примитивности многочлена – достаточно сложная математическая задача. Поэтому существуют готовые таблицы, в которых приведены номера отводных последовательностей, обеспечивающих максимальный период генератора. Например, для 32-х битового сдвигового регистра можно найти такую запись: (32,7,5,3,2,1,0) . Это означает, что для генерации нового бита необходимо с помощью функцииXORпросуммировать тридцать второй, седьмой, пятый, третий, второй, и первый биты.
Код для такого LFSRна языке С++ будет таким:
// Любое значение кроме нуля
ShiftRegister = ((((ShiftRegister >> 31)
^ (ShiftRegister >> 6)
^ (ShiftRegister >> 4)
^ (ShiftRegister >> 2)
^ (ShiftRegister >> 1)
^ ShiftRegister)
& 0x00000001) <<31)
| (ShiftRegister >> 1);
return ShiftRegister & 0x00000001;
Программные реализации LFSRдостаточно медленны и быстрее работают, если они написаны на ассемблере, а не на С. Одним из решений является использование параллельно 16-тиLFSR(или 32 в зависимости от длины слова в архитектуре конкретного компьютера). В такой схеме используется массив слов, размер которого равен длинеLFSR, а каждый юит слова массива относится к своемуLFSR. При условии, что используются одинаковые номера отводных последовательностей, то это может дать заметный выигрыш в производительности.
С
хему
обратной связи также можно модифицировать.
При этом генератор не будет обладать
большей криптостойкостью, но его будет
легче реализовать программно. Вместо
использования для генерации нового
крайнего левого бита битов отводной
последовательности выполняетсяXORкаждого бита отводной последовательности
с выходом генератора и замена его
результатом этого действия, затем
результат генератора становится новым
левым крайним битом (Error: Reference source not found).
Эту модификацию называют конфигурацией Галуа . На языке С это выглядит следующим образом:
static unsigned long ShiftRegister = 1;
void seed_LFSR (unsigned long seed)
ShiftRegister = seed;
int Galua_LFSR (void)
if (ShiftRegister & 0x00000001) {
ShiftRegister = (ShiftRegister ^ mask >> 1) | 0x8000000;
ShiftRegister >>= 1;
Выигрыш состоит том, что все XORвыполняются за одну операцию. Эта схема также может быть распараллелена.
Сами по себе LFSRявляются хорошими генераторами псевдослучайных последовательностей, но они обладают некоторыми нежелательными неслучайными свойствами. Последовательные биты линейны, что делает их бесполезными для шифрования. ДляLFSRдлиныn внутреннее состояние представляет собой предыдущиеn выходных битов генератора. Даже если схема обратной связи хранится в секрете, то она может быть определена по2 n выходным битам генератора при помощи специальных алгоритмов. Кроме того, большие случайные числа, генерируемые с использованием идущих подряд битов этой последовательности, сильно коррелированны и для некоторых типов приложений не являются случайными. Несмотря на это,LFSRчасто используются для создания алгоритмов шифрования. Для этого используются несколькоLFSR, обычно с различными длинами и номерами отводных последовательностей. Ключ является начальным состоянием регистров. Каждый раз, когда необходим новый бит, все регистры сдвигаются. Эта операция называетсятактированием . Бит выхода представляет собой функцию, желательно нелинейную, некоторых битовLFSR. Эта функция называетсякомбинирующей , а генератор в целом –комбинирующим генератором . Многие из таких генераторов безопасны до сих пор.
- «Tetromino tennis»). Он создал и решил бесчисленное количество математических головоломок и каламбуров. Лет 20 назад я узнал, что он был очень близок к открытию моего любимого правила 30 для клеточных автоматов еще в 1959 году, когда я только родился.
Как я встретил Сола Голомба
Почти всех ученых и математиков, с которыми я знаком, я узнал благодаря моим профессиональным связям. Но только не Сола Голомба. Шел 1981 год, и я, 21-летний физик (ставший немного известным в СМИ потому, что был самым молодым получателем премии МакАртура на первой церемонии награждения) занимался исследованиями в . В дверь моего кабинета постучались, и вскоре его порог переступила молодая женщина. Уже это было необычно, потому что в те времена там, где занимались теоретической физикой высоких энергий, женщин было безнадежно мало. Хотя я и прожил в Калифорнии несколько лет, я, тем не менее, не покидал пределов университета, а потому оказался плохо подготовлен к всплеску южнокалифорнийской энергии, которая ворвалась ко мне в кабинет. Женщина представилась Астрид и сказала, что посещала Оксфорд и знала кого-то, с кем я был в детском саду. Она объяснила, что ей было поручено собрать сведения об интересных людях в районе Пасадены. Думаю, она считала меня трудным случаем, но, тем не менее, настаивала на разговоре. И однажды, когда я пытался рассказать что-то о том, чем я занимаюсь, она сказала: "Вы должны встретиться с моим отцом. Он уже пожилой человек, но его ум по-прежнему острый, как бритва ". И так случилось, что Астрид Голомб, старшая дочь Сола Голомба, познакомила меня с ним.Семья Голомб жила в доме, расположенном в горах близ Пасадены. У них было две дочери: Астрид - немного старше меня, честолюбивая голливудская девушка, и Беатрис - примерно моего возраста и научного склада ума. Сестры Голомб часто устраивали вечеринки - как правило, у себя дома. Темы были разные: это и вечеринка в саду и крокет с фламинго и ежами ("победителем станет тот, чей костюм более всего будет соответствовать заявленной теме "), или вечеринка в стиле Стоунхендж с инструкциями, написанными рунами. На этих вечеринках пересекались молодые и не очень люди, в том числе - различные местные светила. И на них, немного в стороне, присутствовал всегда маленький человек с большой бородой, немного похожий на эльфа и носивший всегда темное пальто, - сам Соломон Голомб.
Постепенно я узнал немного о нем. То, что он был вовлечен в "теорию информации ". То, что он работал в Университете Южной Калифорнии . То, что у него были различные неопределенные, но, по-видимому, высокоуровневые правительственные и другие связи. Я слышал про регистры сдвига, но практически ничего не знал о них.
Вот что происходит через некоторое время:
Как вы видите, регистр сдвига всегда сдвигает биты влево, а другие биты добавляются справа согласно простому правилу. Последовательность битов кажется случайной, хотя, как показано на рисунке, она в конечном итоге повторяется. Сол Голомб нашел элегантный математический способ анализа таких последовательностей и того, как они повторяются.
Если регистр сдвига имеет размер n, то у него есть 2 n возможных состояний (соответствующих всем возможным последовательностям 0 и 1 при длине n ). Поскольку правила для регистра сдвига детерминированы, любое данное положение должно всегда прийти к другому такому же положению. А это означает, что максимально возможное число шагов, которое регистр сдвига может пройти, прежде чем шаги начнут повторяться, равно 2 n (на самом деле 2 n - 1, так как положение со всеми 0 не может эволюционировать во что-нибудь еще).
В приведенном выше примере, регистр сдвига имеет размер 7 и повторится ровно через 2 7 - 1 = 127 шагов. Но какие регистры сдвига - с какими расположениями ответвлений - будут производить последовательности максимальной длины? Это вопрос Соломон Голомб начал исследовать летом 1954 года. И его ответ был прост и элегантен.
Регистр сдвига приведенный выше имеет ответвления в положениях 7, 6 и 1. Сол представил это алгебраически, используя многочлен х 7 + х 6 + 1. Он показал тогда, что генерируемая последовательность будет максимальной длины, если этот многочлен "неприводим по модулю 2 "; поэтому он не может быть факторизован, что делает его аналогом простого числа среди многочленов; а наличие некоторых других свойств делает его "примитивным многочленом ". На сегодняшний день это легко проверить с помощью системы Mathematica и языка Wolfram Language :
Тогда, в 1954 году, Сол должен был делать всё это вручную; он составил довольно длинную таблицу примитивных многочленов, соответствующих регистрам сдвига, которые выдавали последовательности максимальной длины:
Предыстория регистров сдвига
Идея поддержания оперативной памяти посредством "линий задержки ", которые передают цифровые импульсы, восходит к началу эпохи ЭВМ. К концу 1940-х годов такие линии задержки применялись в цифровом виде с помощью ряда вакуумных трубок и назывались "регистры сдвига ". Пока не ясно, когда были созданы первые регистры сдвига с обратной связью. Возможно, это было в конце 1940-х годов. Однако это событие до сих пор окутано тайной, потому что впервые они были использованы в военной криптографии.Основная идея криптографии - изменение осмысленных сообщений таким образом, чтобы их нельзя было распознать; при этом, если вы знаете ключ, вы сможете воссоздать зашифрованное сообщение. Так называемые потоковые шифры работают по принципу создания длинных последовательностей как бы случайных элементов, и декодируются с помощью приемника, самостоятельно генерирующего ту же последовательность элементов.
Регистры сдвига с линейной обратной связью ценились в криптографии из-за длинных периодов повтора. Однако математический анализ, который Сол использовал, чтобы найти эти периоды, дает понять, что такие регистры сдвига не годятся для безопасной криптографии. Однако в начале они казались неплохими (особенно в сравнении с последовательными положениями ротора в Энигме); ходили упорные слухи, что на этой основе строились советские военные криптосистемы.
Еще в 2001 году, когда я работал над историческими заметками для моей книги Новый вид науки , мы с Солом долго говорили по телефону о сдвигах регистра. Сол сказал мне, что, когда он начинал, он ничего не знал о криптографической работе по регистрам сдвига. Он сказал, что сотрудники лаборатории Белла, лаборатории Линкольна и Лаборатории реактивного движения начали работать над регистрами сдвига примерно в то же время, что и он; однако ему удалось продвинуться немного дальше, что он и отметил в своем отчете от 1955 года.
В течение последующих лет Сол постепенно узнавал о различных предшественниках своих работ из литературы, посвященной чистой математике. Уже в 1202 году Фибоначчи говорил о том, что теперь называют числами Фибоначчи и которые генерируются рекуррентным соотношением (которое может рассматриваться как аналог регистра сдвига с линейной обратной связью, работающего с произвольными целыми числами, а не с нулями и единицами). Существуют также небольшие работы начала 1900-х по цикличности 0 и 1, однако первым крупномасштабным исследованием стала работа Ойстена Оре из Университета Осло. У Оре был студент по имени Маршалл Холл , который консультировал предшественника Агентства национальной безопасности в конце 1940-х гг. - вероятно, по теме регистров сдвига. Однако все, что он делал, было засекречено, и поэтому он договорился с Солом, чтобы тот опубликовал историю регистров сдвига с линейной обратной связью; Сол посвятил свою книгу Маршаллу Холлу.
Для чего нужны последовательности, генерируемые регистрами сдвига?
Я много раз замечал, что системы, определяемые простыми правилами, в конечном итоге имеют много вариантов приложений; регистры сдвига также следуют этой закономерности. И современное оборудование, и программное обеспечение напичкано регистрами сдвига: в обычном мобильном телефоне, вероятно, их десяток или два, реализованных, как правило, на аппаратном уровне, а иногда - и в программном обеспечении (когда я пишу здесь «регистр сдвига», я имею в виду регистр сдвига с линейной обратной связью - LFSR).В большинстве случаев используются те регистры сдвига, которые дают последовательности максимальной длины (иначе известные как "М-последовательности "). Причины, по которым они используются, как правило, связаны с некоторыми их свойствами, которые обнаружил Сол. Они всегда содержат одинаковое количество 0 и 1 (хотя на самом деле всегда есть ровно одна дополнительная 1). Впоследствии Сол показал, что им также свойственно одинаковое количество последовательностей 00, 01, 10 и 11 - и для больших блоков тоже. Это свойство "баланса " это само по себе уже очень полезно, - к примеру, если тестировать все возможные комбинации битов в качестве входных данных.
Однако Сол обнаружил еще одно, даже более важное свойство. Замените каждый 0 в последовательности на 1, затем умножьте каждый элемент в сдвинутой версии последовательности на соответствующий элемент оригинала. Сол показал, что при сложении эти элементы всегда будут равны нулю (кроме случаев, когда никакого сдвига нет вообще). То есть последовательность не имеет никакой корреляции со сдвинутыми версиями самой себя.
Эти свойства будут верны для любой достаточно длинной случайной последовательности из 0 и 1. Удивительно, что для последовательностей максимальной длины эти свойства всегда верны. Последовательности имеют некоторые черты хаотичности, однако на самом деле они вовсе не хаотичны: они имеют вполне определенную, организованную структуру .
Именно эта структура, свойственная регистрам сдвига с линейной обратной связью, делает их непригодными для серьезной криптографии. Но они прекрасно подходят для базовой «перестановки элементов» и дешевой криптографии и активно используются для этих целей. Часто стоит задача просто «отбелить» сигнал (как в «белом шуме»). Иногда нужно передавать данные с длинными последовательностями 0. Но электроника в таком случае может запутаться, если «молчание» будет слишком долгим. Можно избежать этой проблемы через скремблинг исходных данных путем объединения его с последовательностью, генерируемую регистром сдвига. Именно это было сделано с Wi-Fi , Bluetooth , USB , цифровым TV , интернетом и т. д.
Побочный эффект скремблинга регистра сдвига - более сложное декодирование, что используется иногда для повышения безопасности (в технологии DVD для кодирования данных используется комбинация регистров сдвига с длиной 16 и 24 бита; многие GSM телефоны используют комбинацию из трех регистров сдвига для кодирования всех сигналов).
Сол создал математическую основу для всего этого, а также перезнакомил друг с другом ряд ключевых фигур. Еще в 1959 году он познакомился с Ирвином Джейкобсом , который недавно получил докторскую степень в Массачусетском технологическом институте. Также он был знаком с Энди Витерби , который работал в Лаборатории реактивного движения. Сол познакомил их, и в 1968 году они основали компанию под названием Linkabit , работавшую над системами кодирования (в основном для военных целей).
В 1985 году Джейкобс и Витерби основали еще одну компанию под названием Qualcomm . Сначала дела у них шли не особенно хорошо, но к началу 1990-х годов, когда они начали производить компоненты для развертывания CDMA в сотовых телефонах, компания начала стремительно расти.
Ну и где же эти регистры?
Удивительно, что большинство людей никогда не слышали о регистрах сдвига и при этом взаимодействуют с ними всякий раз, когда пользуются современными системами связи, вычислительной техникой и т. д. Здесь несложно запутаться, учитывая, что за разными названиями и аббревиатурами оказываются те же последовательности регистров сдвига с линейной обратной связью (PN, псевдошум, M-, FSR, LFSR последовательности, MLS, SRS, PRBS, и т. д.).Если рассматривать мобильные телефоны, то использование в них последовательностей, генерируемых регистрами сдвига, менялось на протяжении многих лет, - то увеличиваясь, то уменьшаясь. сети основаны на TDMA, так что для кодирования своих данных не используют последовательности, генерируемые регистрами сдвига, однако до сих пор часто используют CRC (циклический избыточный код) для проверки блоков данных. сети - крупнейшие пользователи CDMA, так что последовательности, генерируемые регистрами сдвига, задействованы в передаче каждого бита. сети обычно используют сочетание времени и частоты слотов, не включающих последовательности регистров сдвига, хотя CRC еще используются: например, чтобы взаимодействовать с целостными данными, когда частотные окна перекрывают друг друга. имеет более сложную структуру - с множеством антенн, динамически адаптирующихся для использования оптимального времени и частоты слотов. Однако половина их каналов, как правило, выделяется для «пилот-сигналов», которые используются для выведения локальной радиосреды; в их основе также лежат последовательности, генерируемые регистрами сдвига.
При производстве электроники обычно стараются достичь наиболее высокой скорости передачи данных при минимальных энергозатратах, позволяющих битам преодолевать шумовой порог. И, как правило, этот путь приводит к автоматизации обнаружения ошибок, - а значит, к использованию CRC (циклического избыточного кода) и, следовательно, последовательностей, генерируемых сдвиговым регистром. Это касается практически всех видов шин внутри компьютера (PCIe , SATA и т. д.): обеспечивающих взаимодействие частей центрального процессора, или получение данных с устройств, или подключение к дисплею с HDMI . В случае с дисками или с памятью CRC и другие коды, основанные на последовательностях, генерируемых регистрами сдвига, также практически повсеместно используются для работы на максимальной скорости.
Регистры сдвига настолько вездесущи, что практически невозможно оценить, сколько бит ими генерируется. Существует примерно 10 миллиардов компьютеров, чуть меньше - телефонов, и огромное количество устройств во встроенным IoT («интернетом вещей») . Почти у каждого автомобиля в мире (а их больше миллиарда!) - около 10 встроенных микропроцессоров.
На какой частоте работают регистры сдвига? В системах связи есть базовая несущая частота в герцовом диапазоне, а также «скорость передачи элементов сигнала», которая говорит о том, как быстро осуществляется множественный доступ (речь идет о CDMA) в диапазоне МГц. С другой стороны, в шинах внутри компьютеров все данные передаются с помощью регистров сдвига - с наилучшей скоростью передачи в герцовом диапазоне.
Существует по крайней мере 10 миллиардов линий связи, работающих по крайней мере 1/10 миллиарда секунд (около 3-х лет), которые используют по меньшей мере 1 миллиард битов из сдвиговых регистров каждую секунду, что означает, что на сегодняшний день алгоритм Сола был использован по крайней мере октиллион раз.
Действительно ли этот алгоритм используется наиболее часто? Думаю, да. Я подозреваю, что конкуренцию могут составить только арифметические операции. В наши дни процессоры способны проводить триллион арифметических операций в секунду, и такие операции необходимы для почти каждого бита, генерируемого с помощью компьютера. Но как выполняется арифметика? На каком-то уровне это просто реализация цифровой электроники.
Однако есть «алгоритмические идеи», которые остаются непонятными для всех, кроме дизайнеров микропроцессоров. Когда Бэббидж делал свою разностную машину (см. статью на Хабре "Распутывая историю Ады Лавлейс (первого программиста в истории) "), переносы стали большой помехой в выполнении арифметических операций (на самом деле, о регистре сдвига с линейной обратной связью можно думать как о системе, которая делает что-то вроде арифметических вычислений, но не осуществляет перенос). Существуют «деревья распространения сигнала переноса», оптимизирующие перенос. Есть также маленькие хитрости (вроде "алгоритма Бута ", " деревьев Уоллеса " и т. д.), которые уменьшают количество битовых операций, необходимых для создания «внутренностей» арифметики. Но, в отличие от регистров сдвига с линейной обратной связью, единой алгоритмической идеи, которая использовалась бы практически где угодно, просто не существует; поэтому я думаю, что максимально длинные последовательности, генерируемые регистрами сдвига с линейной обратной связью, все-таки побеждают среди наиболее используемых последовательностей.
Клеточные автоматы и регистры сдвига с нелинейной обратной связью
Хотя на первый взгляд это и не кажется очевидным, оказывается, существует тесная связь между регистрами сдвига с обратной связью и клеточными автоматами, которые я много лет изучал. Базовая организация для регистра сдвига с обратной связью предусматривает вычисление за один раз одного бита. В клеточном автомате имеется одна линия клеток, и на каждом шаге все клетки обновляются параллельно, основываясь на правиле, которое зависит, к примеру, от значений их ближайших соседей.Чтобы увидеть, как они связаны между собой, нужно запустить регистр сдвига с обратной связью размера n , и при этом отображать его состояние только каждые n шагов; другими словами, дать всем битам перезаписаться до повторного их появления. Если отображается каждый шаг регистра сдвига с линейной обратной связью (здесь - с двумя ответвлениями), то на каждом из шагов все сместится влево - и все. Но если сделать сжатую картинку, показывая только каждые n шагов, станет видна закономерность.
Это вложенный паттерн; и эта картина очень похожа на ту, которую можно получить в случае, если клеточный автомат возьмет клетку и соседнюю с ней и сложит их по модулю 2 (XOR). Вот что происходит с клеточным автоматом, если он располагает свои клетки так, что они находятся в окружности того же размера, что и регистр сдвига выше:
Вначале клеточные автоматы и паттерны сдвигового регистра оказываются точно такими же. Если посмотреть на эти картинки, становится менее удивительно, что математика регистров сдвига должна иметь отношение к клеточным автоматам. И, учитывая повторяемость вложенных паттернов, становится ясно, почему должна существовать элегантная математическая теория регистров сдвига.
Для типичных регистров сдвига, используемых на практике, не свойственны такие явно повторяющиеся паттерны. Вот несколько примеров регистров сдвига, которые генерируют последовательности максимальной длины. Факт в том, что ответвления находятся далеко друг от друга, что затрудняет нахождение визуальных следов вложенности.
Насколько же широко соответствие между регистрами сдвига и клеточными автоматами? Для клеточных автоматов правила генерации новых значений ячеек могут быть какими угодно. В регистрах сдвига с линейной обратной связью они всегда должны быть основаны на сложении по модулю 2 (или XOR). Это то, что означает «линейная» часть «регистра сдвига с линейной обратной связью». Также возможно использование любого правила для объединения значений для регистров сдвига с нелинейной обратной связью (NFSR).
И в самом деле: когда Сол разработал свою теорию для регистров сдвига с линейной обратной связью, он начал с нелинейного случая. Когда он прибыл в JPL в 1956 году, он получил лабораторию, укомплектованную стойками для маленьких электронных модулей. Сол рассказывал, что модули (каждый из которых был размером с сигаретную пачку) были построены для проекта Bell Labs для выполнения определенной логической операции (AND, OR, NOT, ...). Модули могут быть использованы вместе для реализации любых желаемых регистров сдвига с нелинейной обратной связью, обеспечивая около миллиона бит в секунду (Сол сказал мне, что кто-то пытался сделать то же самое с помощью универсального компьютера, и то, что заняло 1 секунду при использовании аппаратных модулей, потребовало 6 недель работы на универсальном компьютере).
Когда Сол стал изучать регистры сдвига с линейной обратной связью, первым его серьезным открытием стали периоды их повторения. И в случае с нелинейными он большую часть своих усилий направил на попытки понять то же самое. Он собрал все виды экспериментальных данных. Он рассказал мне, что он проверял даже последовательности длиной 2 45 , что потребовало год. Он сделал резюме, как на картинке ниже (обратите внимание на визуализацию последовательностей, показанных на линии осциллограммы). Но ему так и не удалось придумать какой-то общей теории, какая была у него для регистров сдвига с линейной обратной связью.
Неудивительно, что он не смог этого сделать. Уже в 1950-е годы появились теоретические результаты (в большинстве случаев основанные на идеях универсальных вычислений Тьюринга), того, какие программы в принципе могли бы сделать это. Я не думаю, что Сол или кто-либо еще когда-нибудь думал, что в регистрах сдвига с нелинейной обратной связью будут применяться очень простые (нелинейные) функции.
И только позже стало ясно, насколько сложным может быть поведение даже очень простых программ. Мой любимый пример - правило 30 для клеточного автомата, в котором значения соседних ячеек объединяются с помощью функции, которая может быть представлена в виде р + q + r + q*r mod 2 (или р XOR (q OR r )). Невероятно, но Сол рассматривал регистры сдвига с нелинейной обратной связью, основанные на аналогичные функциях: р + г + s + q*r + q*s + r*s mod 2 . Вот здесь, ниже, - иллюстрации того, как функция Сола (которую можно рассматривать как "правило 29070 "), правило 30 и несколько других подобных правил выглядят в регистре сдвига:
А здесь они, не ограниченные регистром фиксированного размера, похожи на клеточные автоматы:
Конечно, Сол никогда не делал картинок вроде этой (да и это было почти нереально сделать в 1950-е годы). Вместо этого он сосредоточился на периоде повторения как своего рода совокупной характеристике.
Сол задавался вопросом о том, могут ли регистры сдвига с нелинейной обратной связью быть источниками хаотичности. Из того, что на сегодняшний день известно о клеточных автоматах, ясно, что могут. К примеру, для создания хаотичности для системы Mathematica мы в течение 25 лет использовали правило 30 клеточных автоматов (хотя недавно мы отказались от него в пользу более эффективного правила, которое мы нашли, изучив триллионы возможностей).
О шифровании Сол говорил немного; хотя я думаю, что он недолго работал на правительство. Он сказал мне, что, хотя в 1959 году он и обнаружил "многомерные корреляционные атаки на нелинейные последовательности ", в то же время он "тщательно избегал утверждений, что программа была для криптоанализа ". Дело в том, что правило 30 для клеточных автоматов (и, возможно, также регистры сдвига с нелинейной обратной связью) могут быть хорошими криптосистемами - хотя из-за того, что они как будто эквивалентны регистрам сдвига с линейной обратной связью (а это не так), они никогда не использовались настолько, насколько можно.
Будучи энтузиастом, в течение последних нескольких десятилетий я пытался изучить всех предшественников моей работы над одномерными клеточными автоматами. Двумерные клеточные автоматы были немного изучены, а вот в случае с одномерными нашлась только одна чисто теоретическая работа. Я думаю, что из всего, что я видел, регистры сдвига с нелинейной обратной связью Соломона Голомба оказались ближе всего к тому, чем я в конечном итоге занялся четверть века спустя.
Полиомино
Услышав фамилию "Голомб ", многие вспомнят о регистрах сдвига. Однако большинство вспомнит про полиомино . Сол не изобретал полиомино, хотя и придумал это название. Он сделал систематическим то, что раньше появлялось только в отдельных головоломках.Главный вопрос, в ответе на который Сол был заинтересован, это как наборы полиомино могут быть организованы, покрыв некоторую область. Иногда это довольно очевидно, а иногда - довольно сложно. Свою первую статью о полиомино Сол опубликовал в 1954 году, однако действительно популярным сделал полиомино Мартин Гарднер в 1957 году (он вел колонку о математических играх в журнале Scientific American ). Как пояснил Сол в предисловии к своей книге от 1964 года, в результате он получил "постоянный поток корреспондентов со всего мира и из всех слоев общества: председателей совета директоров ведущих университетов, жителей неизвестных монастырей, заключенных из известных тюрем... ".
Игровые компании также обратили внимание на новые головоломки, и в течение нескольких месяцев появились заголовки вроде "новые сенсационные головоломки ", а за ними последовали десятилетия других головоломок и игр на основе полиомино (нет, зловещий лысый парень не похож на Сола):
Сол печатал статьи о полиомино на протяжении еще 50 лет после первой публикации. В 1961 году он представил варианты деления на мелкие части "rep-tiles ", с помощью которых можно создавать фрактальные («Infin-tile») узоры. Но почти все, что Сол делал с полиомино, включало в себя решение конкретных проблем.
Меня мало интересует специфика полиомино; меня интересуют связанные с ними феномены более общего характера . Кажется, что решить, можно ли с помощью нескольких простых форм «замостить» всю плоскость, легко. Но в случае с полиомино (а также со всеми играми и головоломками, основанными на них) становится ясно, что все не так-то просто. И действительно - в 1960-е годы было доказано, что эта задача теоретически неразрешима .
Если нас интересует только ограниченная область, то, в принципе, можно просто перечислить все мыслимые расположения фигур, а затем посмотреть, располагаются ли они так, как надо. Однако если нас интересует бесконечность, то этого можно не делать. Может быть, кто-то и найдет вариант удачного размещения миллиона фигур, но нет никакой гарантии, что этот результат может быть распространен дальше.
Оказывается, это может выглядеть как работающая машина Тьюринга - или клеточный автомат. Вы начинаете с линии плиточек. Тогда вопрос о том, возможно ли бесконечное замощение, эквивалентен вопросу о том, возможна ли установка для машины Тьюринга, которая даст ей возможность не останавливаться. Дело в том, что, если машина Тьюринга универсальна (то есть ее можно запрограммировать для выполнения любых возможных вычислений), то проблема остановки для нее может быть неразрешимой, что означает, что проблема замощения также будет неразрешимой.
Конечно, это зависит от исходного набора форм. Вопрос заключается в том, насколько сложными должны быть формы, чтобы кодировать универсальные вычисления и приводить к нерешимой проблеме замощения. Соломон Голомб знал о литературе по этой теме, но не был особо заинтересован в ней.
Известно, что сложные и тщательно разработанные наборы полимино фактически поддерживают универсальные вычисления. Но что насчет простого набора? Действительно ли он достаточно простой для того, чтобы случайно наткнуться на него? Если посмотреть на все те системы, которые я изучал, то самый простой набор действительно оказывается простым. Однако найти его сложно.
Значительно более простая задача заключается в нахождении полиомино, которые успешно заполняют плоскости, хотя и только непериодически. Роджер Пенроуз в 1994 году нашел подходящий пример. В моей книге Новый вид науки я привел немного более простой пример с 3 полиомино:
Остальная часть истории
Солу было чуть за тридцать, когда он достиг заметного успеха в области регистров сдвига и полиомино… Он был очень активным человеком. Он написал несколько сотен статей , часть из которых расширяла его более ранние работы, часть представляла собой ответы на вопросы, которые ему задавали, а некоторые были написаны, кажется, просто ради удовольствия - чтобы выяснить интересные вещи о числах, последовательностях, криптосистемах и т. д.Регистры сдвига и полиомино - объемные темы (они даже выведены в отдельные категории в AMS классификации). В последние десятилетия они обе получили новый виток развития, когда на их основе стали проводить компьютерные эксперименты; Сол также принимал в них активное участие. Однако многие вопросы остаются без ответов. И если для регистров сдвига с линейной обратной связью можно найти большие матрицы Адамара , то даже сейчас о регистрах сдвига с нелинейной обратной связью мало что известно, не говоря уже обо всех непериодических и иных экзотических полиомино.
Сол всегда интересовался головоломками, - как математическими, так и со словами. Некоторое время он вел колонку головоломок для Los Angeles Times , и в течение 32 лет писал "гамбиты Голомба " в журнал для выпускников Джона Хопкинса. Он принимал участие в тестировании MegaIQ и выиграл поездку в Белый дом, когда он сам и его начальник вошли в пятерку лучших в стране.
Он вкладывал огромные усилия в свою работу в университете: не только обучал студентов и руководил аспирантами и восходил по административной лестнице (президент университетского совета, вице-проректор по исследованиям и др.), но и высказывал свое мнение об управлении университетом в целом (например, написал статью, озаглавленную «Консалтинг на факультете: убрать или оставить?» ; Ответ: нет, это хорошо для университета!). В университете Южной Калифорнии он занимался хедхантингом, и за время своей работы там он помог университету подняться из неизвестности на вершину рейтинга образовательных программ.
А потом был консалтинг. Сол был дотошным и не раскрывал того, что делал для правительственных организаций. В конце 60-х гг., разочарованный тем, что все, кроме него занялись продажей игр на основе полиомино, Сол основал компанию, которую назвал Recreational Technology, Inc. Дела шли не слишком хорошо, однако Сол познакомился с Элвином Берлекэмпом - профессором из Беркли, который увлекался теориями кодирования и головоломками. Впоследствии они основали компанию Cyclotomics (в честь циклотомических многочленов вида x n – 1), которая в итоге была продана компании Kodak за круглую сумму (Берлекэмп создал также алгоритмическую торговую систему, которую он затем продал Джиму Симонсу и которая стала отправной точкой для Renaissance Technologies - одного из крупнейших на сегодняшний день хедж-фондов).
Более 10000 патентов так или иначе связаны с работами Сола, а вот сам Сол получил только один патент на криптосистемы на основе квазигрупп - и я думаю, что он мало что сделал для коммерциализации своей работы.
На протяжении многих лет Сол работал с Технионом - израильским технологическим институтом. Он говорил о себе как о "нерелигиозном ортодоксальном еврее ", но при этом иногда вел для новичков семинары по Книге Бытия, а также работал над расшифровкой частей свитков Мертвого моря (Кумранских рукописей).
Сол и его жена много путешествовали, однако «центром мира» для Сола определенно были его офис в Лос-Анджелесе в Университете Южной Калифорнии, и дом, в котором он и его жена жили в течение почти 60-ти лет. Он всегда был окружен друзьями и студентами. И у него была семья. Его дочь Астрид сыграла роль студентки в пьесе о Ричарде Фейнмане (она позировала ему), и в романе моего друга в качестве одного из персонажей. Беатрис посвятила свою карьеру применению математического уровня точности к различным видам медицинского показаний и диагностики (болезни, связанные с войной в Персидском заливе, эффекты статинов, приступы икоты и т. д.). Я даже внес свой небольшой вклад в жизнь Беатрис, познакомив ее с человеком, который стал затем ее мужем - с Терри Сейновски , одним из основателей современной вычислительной нейронауки.
Казалось, что Сол вовлечен во множество событий, даже если он не слишком распространялся о деталях. Время от времени мне хотелось поговорить с ним о науке и математике, но ему интереснее было рассказывать истории (часто очень увлекательные) как об отдельных личностях, так и об организациях ("Можете ли вы поверить, что [в 1985 году], после многолетнего отсутствия на конференциях, Клод Шеннон просто появился без предупреждения в баре на ежегодной конференции по теории информации? "; "вы знаете, сколько они должны были заплатить главе Калифорнийского технологического института, чтобы заставить его поехать в Саудовскую Аравию ? », и т. д.).
Оглядываясь назад, я понимаю, что хотел бы заинтересовать Сола в решении некоторых математических вопросов, поднятых в моей работе. Думаю, что я так и не понял, до какой степени он любил решать проблемы, предложенные другими людьми. Несмотря на значительный вклад в развитие инфраструктуры вычислительного мира, сам Сол никогда всерьез не использовал компьютеры. Он очень гордился тем, что может с легкостью проводить вычисления в уме. До 70-ти лет он не пользовался электронной почтой и никогда не пользовался компьютером дома, хотя вот мобильный телефон у него был (обычной электронной почты от него почти не приходило. Я упомянул как-то, что около года назад я изучал историю Ады Лавлейс ; он ответил: "История Ады Лавлейс как программиста Бэббиджа настолько широко распространена, что все, кажется, принимают ее как факт, однако я никогда не видел источников по этому вопросу. ").
Дочери Сола несколько лет назад организовали вечеринку по поводу его 80-летия и создали такие интересные приглашения:
У Сола были определенные проблемы со здоровьем, хотя, казалось, это не очень отражается на его ритме жизни. Здоровье его жены ухудшалось, и в последние несколько недель довольно резко. В пятницу Сол, как обычно, пошел в свой кабинет, а в субботу ночью умер во сне. Его жена Бо пережила его всего на две недели и умерла всего за два дня до 60-й годовщины их свадьбы.
Хотя Сол и ушел, его работа живет в октиллионах бит в цифровом мире.
Прощай, Сол. И от всех нас - спасибо.